有限单元法(TheFiniteElementMethod)-创新互联

简介

    有限元法最初的概念源自用结构力学的方法解决弹性力学的问题,后来扩展到各种用微分方程描述的学科。最初的有限单元法多用于工程计算,随着计算机性能的不断增强以及对图形表现真实性的进一步需求,有限单元法也逐渐应用到了图形的领域。

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有限单元法(The Finite Element Method)

有限单元法(The Finite Element Method)

连续介质力学 Continuum Mechanics

    在图形学中,可变形的物体通常建模为连续介质的三维物体,其中最重要的三个量是:位移,应力,应变。

     对于一维的情况,如下图:

有限单元法(The Finite Element Method)

   由Hooke's law  很容易得到:

有限单元法(The Finite Element Method)

其中E是杨氏模量,描述的是材料的刚度。引入应力有限单元法(The Finite Element Method)和应变有限单元法(The Finite Element Method),则式子可简化为:

有限单元法(The Finite Element Method)

下面来定义一些符号。

一个三维可变形物体主要由一个未变行状态的体(undeformed shape, rest shape,initial shape)和一些材料属性来定义.Rest shape为一个连续的三维空间子集,记为有限单元法(The Finite Element Method),其中的点有限单元法(The Finite Element Method)称为点的材质坐标(material coordinates)。

当有力施加到rest shape 上的时候,x的位置移动到 p(x),因为 p(x) 定义为所有材质上的点,那么 p(x)有限单元法(The Finite Element Method)上的一个向量空间,记向量空间 u(x) = p(x) - x为位移域(displacement field).

应变 Strain

为了在三维空间中使用Hooke 定律,需要用新的方法来表示。在大部分情况下,变形体内的应变都不是一样的。比如一个一端固定的悬臂梁,上侧是受拉,下侧则是受压。则应变其实是材料坐标的函数,记为有限单元法(The Finite Element Method),如果物体未发生形变,应变就是0,单纯的空间位移无法引起形变,所以应变也为0,因此应力其实是由位移域决定的。在三维空间中,位移域有三个部分:有限单元法(The Finite Element Method),每一个分量都可以对x,y,z方向微分。应变就不是一个单值了,这个非常重要,因为在一个三维物体中的一个点,可以在一个方向受压的同时,在另一个方向受拉。

应变可以表示为一个 3*3 空间上的张量(tensor):

有限单元法(The Finite Element Method)

有两种从位移域计算应变张量的方法:

有限单元法(The Finite Element Method)

前者称为格林非线性应变张量,后者是科希线性应变张量。科希张量少了后面的二次部分,无法获取旋转量。位移域的梯度矩阵如下:

有限单元法(The Finite Element Method)

逗号后面的字母表示对其你偏导,求出梯度矩阵后很容易得到应变张量。

应力 Stress

应力指的是单位面积的受力,和应变一样,应力也可用一个3阶张量表示:

有限单元法(The Finite Element Method)

求得应力之后,想要求得某个面上的手里,则还需要知道这个面的法向,然后通过下面的公式求得:

有限单元法(The Finite Element Method)

本构关系

本构关系表示的应力和应变之间的关系。在三维空间中,Hooke 定律表示为:

有限单元法(The Finite Element Method)

在这里应力和应变都是3阶的张量,对与各向同性的材料(isotropic materials),Hooke  定律有:

有限单元法(The Finite Element Method)

这里的 v 是杨氏模量,取值范围是[0...1/2), 描述固体材料抵抗形变能力的物理量。


动力方程 Equation of Motion

将牛顿第二定律运用到弹性材料中的质点,有

有限单元法(The Finite Element Method)

由于我们不知道整个物体的质量,对与一个单位体积的立方体dxdydz,化为单位体积质量(也就是密度)的形式:

有限单元法(The Finite Element Method)

这里的 f(x) 指的是作用在x的 内力+外力合。

现在要做的是计算内力。对于一个变形体内的一个单位立方体dxdydz,垂直X方向的应力如下

有限单元法(The Finite Element Method)

应力是单位面积的力,则应力乘以面积就可以得到内力,再除以体积则得到x方向内力合为:

有限单元法(The Finite Element Method)

逗号表示 空间导数。

则由内部应力产生的内力合可表示为:

有限单元法(The Finite Element Method)

则完整的偏微分方程可以化为:

有限单元法(The Finite Element Method)

通过这个方程,我们就可以通过求出内力外力和,继而求出加速度,然后更新位置。

整理一下这个求解方法的pipeline:

1.密度和外力已知;

2.定义材料坐标 X 和世界坐标 P

3.计算位移域 u =p-x;

4.计算位移域梯度,然后应变张量就可以获得(格林应变张量或者柯希应变张量);

5.根据Hooke's  law 计算应力域;

6.根据牛顿第二定律计算出加速度;

7.利用显示或者隐式积分,更新P(x)。

这里还有两个概念需要说明一下。

材料线性:材料的应力和应变关系符合简单的Hooken law.(线性关系)

几何线性:应变张量使用的是柯希张量。

材料线性+集合线性得到的结果是动力学偏微分方程线性,偏微分方程线性的好处就是好求解。在deformate object 模拟中,大部分都是假设成线性的,这样能够使计算简单,获得更快的计算速度,但是对于大变形或者旋转,集合上的线性简化会引起一些很怪异的现象,这在后面会介绍一些解决的方法。

有限单元离散

    在上面得到的偏微分方程中,p是一个连续向量空间,怎么描述物体中点位移会非常困难,因为物体有无限的质点,而我们需要求解解析解。

    有一个方法可以无限近似的方式逼近真实解,这个方法的核心思想就是Finite Element Method(FEM),在力学中称为有限单元法。通过一些算法,将deformate object 的体mesh化分为网格单元mesh,网格单元之间不会有重叠,对于每一个单元,向量空间都可以根据单元顶点的位置写出解析式。

    网格剖分的相关的文章:专注网格剖分 - TetGen,NETGEN,Steller

   一个球体剖分的例子:

有限单元法(The Finite Element Method)

剖分后:

有限单元法(The Finite Element Method)

常应变四面体网格 Constant Strain Tetrahedral Meshes

    在有限单元法中,最简单的方法就是用四面体作为有限单元,这样的网格mesh称为四面体mesh。

    在单元中,如果形变域为一个常量的话会更加简单,但是这样会导致应力为0,然后就无法模拟变形物体了。

有限单元法(The Finite Element Method)

对于如上图的一个四面体单元,x0,x1,x2,x3是在完全不受外力情况下的位置(rest shape),在形变状态下的位置为p0,p1,p2,p3,单纯的平移变换并不会产生内力,所以假设x0 = p0 = 0;

对与四面体中的某一点x,可以用重心坐标插值来表示:

有限单元法(The Finite Element Method)

变形之后,这一点的重心坐标是不变的,可以记为:

有限单元法(The Finite Element Method)

两式连立,消去b,得到

有限单元法(The Finite Element Method)

这是一个线性关系,[x1,x2.x3]矩阵的逆可以事先求出。

由于p(x)是线性的,所以有

有限单元法(The Finite Element Method)

又位移域 u = p-x,则

有限单元法(The Finite Element Method)

使用格林应变张量

有限单元法(The Finite Element Method)

再利用Hooken law,求出应力,然后乘以面积就可以得到内力。

例如,对于面(0,1,2)面上方的力如下:

有限单元法(The Finite Element Method)

三角形的两个向量叉乘得到三角形的面积。

最后,我们只要吧面力离散到三角形的各个顶点就可以了。

就如我们看到的,整个过程都非常简单,只是根据之前的一个状态不断地去计算各种变量,同时我们可以很轻易的将Hooken law 替换成其他的非线性模型。

下面给出整个模拟过程的伪代码.

有限单元法(The Finite Element Method)有限单元法(The Finite Element Method)

一行行解释。

1-4:对有限元mesh中的所有单元进行初始化,初始位移和rest shape重合。

5-7:预处理每个单元的Xi;

8-11:这里开始主模拟循环。每次循环开始都要重新设置顶点上的力,初始设置为外力和;

13-14:计算出位移梯度;

15-16:用格林应变张量计算出应力;

17-22:计算单元中每个面上的力,然后将力离散到面上的每一个顶点;

24-26:到这一步,单元上的上的每一个顶点上的力都已经搞定了,接下来是更新每个点的位置;

28:更新显示。

算法的流程很像Mass - Spring - System. 虽然力的计算很耗时,但算法并没有因此更难理解或实现。

对于更稳定的模拟,一定要使用隐式积分。

参考

SIGGRAPH 2008 Course - Real Time Physics Class Notes

SIGGRAPH 2012 Course - FEM Simulation of 3D Deformable Solids: A practitioner’s guide to theory, discretization and model reduction

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