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android中贝塞尔曲线的应用示例-创新互联

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贝塞尔曲线又称贝兹曲线，它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。最初由保罗·德卡斯特里奥（Paul de Casteljau）于1959年运用德卡斯特里奥演算法开发（de Casteljau Algorithm），在1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表。目前广泛应用于图形绘制领域来模拟光滑曲线，为计算机矢量图形学奠定了基础。在一些图形处理软件中都能见到贝塞尔曲线，比如CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”；Photoshop中叫“钢笔工具”。下图为Photoshop中用钢笔绘制的贝塞尔曲线，共绘制了三条贝塞尔曲线：

android中贝塞尔曲线的应用示例


数学表达

术语：数据点、控制线、控制点、德卡斯特里奥算法、一阶，二阶，三阶，n阶……

  1. 数据点：一条贝塞尔曲线的起始点和终结点都叫数据点。
  2. 控制线：在图中可以看到那条中心点为数据点的线段，每个数据点对应一条控制线
  3. 控制点：就是控制线的端点，通过控制线随着控制点的变化而变化；数据点和控制点决定一条贝塞尔曲线。
  4. 一阶贝塞尔曲线：其实是一条直线段，没有控制点。

一阶贝塞尔曲线示意图

android中贝塞尔曲线的应用示例


一阶贝塞尔曲线公式android中贝塞尔曲线的应用示例


二阶贝塞尔曲线：图中第二段为二阶贝塞尔曲线，只有一个控制点，即只有一个控制点和两个数据点来决定曲线形状。

android中贝塞尔曲线的应用示例

二阶贝塞尔曲线公式android中贝塞尔曲线的应用示例

二阶公式推导：

android中贝塞尔曲线的应用示例
二阶贝塞尔曲线t=0.6示意图.gif
根据控制点和数据点，对贝塞尔曲线进行约束，满足的条件为

android中贝塞尔曲线的应用示例


问题变为：已知P0(x0,y0), P1(x1,y1), P2(x2,y2)，根据上式求P点坐标？


先求出A、B点坐标，其坐标


PA=P0+(P1-P0)·t


PB=P1+(P2-P1)·t


之后求P点坐标，其坐标


P=PA+(PB-PA)·t


P=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2， t∈[0,1]

三阶贝塞尔曲线：图中第三段为三阶贝塞尔曲线，有两个控制点和两个数据点决定的曲线，同样满足等比条件：

android中贝塞尔曲线的应用示例

三阶贝塞尔曲线

三阶贝塞尔曲线公式android中贝塞尔曲线的应用示例


德卡斯特里奥算法的思想：给定数据点和控制点P0、P1…Pn，首先将数据点和控制点连接形成一条折线，计算出每条折线上面的一点，使得初始数据点（初始控制点）到该点的距离与初始数据点（初始控制点）到终止数据点（终止控制点）的距离之比为t:1。将这些点连接起来形成新的折线（折线少了一段），用递归的算法继续计算，指导只有两个点，在这两个点形成的线段上去一点，满足以上的比例关系。随着t的从0到1的变化，该点的集合形成了贝塞尔曲线。

n阶贝塞尔曲线公式如下。

android中贝塞尔曲线的应用示例


Android中的应用

对android中如何获取贝塞尔曲线上的点，如何绘制贝塞尔曲线，以及结合贝塞尔曲线的知识做出的效果进行分析。

1. 获取贝塞尔曲线上点的坐标

在android中并没有直接获取的方法，因此需要利用上面的公式进行计算，以二阶贝塞尔曲线为例，获取51个点，主要是t从0开始到1间取51项的等差数列：

public class MainActivity extends AppCompatActivity {

  private static final float mPointNum = 50f;

  @Override
  protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
    super.onCreate(savedInstanceState);
    setContentView(R.layout.activity_main);
    init();
  }

  private void init() {
    PointF mStartPoint = new PointF(0, 0);
    PointF mEndPoint = new PointF(0, 1200);
    PointF mControlPoint = new PointF(500, 600);

    List mPointList = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i <= mPointNum; i++) {
      mPointList.add(getBezierPoint(mStartPoint, mEndPoint, mControlPoint, i / mPointNum));
      Log.d("Bezier", "X:" + mPointList.get(i).x + " Y:" + mPointList.get(i).y);
    }
  }

  private PointF getBezierPoint(PointF start, PointF end, PointF control, float t) {
    PointF bezierPoint = new PointF();
    bezierPoint.x = (1 - t) * (1 - t) * start.x + 2 * t * (1 - t) * control.x + t * t * end.x;
    bezierPoint.y = (1 - t) * (1 - t) * start.y + 2 * t * (1 - t) * control.y + t * t * end.y;
    return bezierPoint;
  }
}

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