狄拉克δ函数的平方是什么？

最近看之前读过的文献，遇到了下面的公式：

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其中，L是x的分布范围。之前是搞清楚怎么推导了，现在又忘记了。花了大概一个小时重新推导了一下。查网站翻书，特别头疼，都是因为自己没有做记录！！！同时发现中文关于这个内容比较少，所以发出来希望能帮助到大家。

首先了解一下狄拉克δ函数（Dirac delta function）的定义：

可见狄拉克δ函数实际上是常数1的傅里叶变换。那么狄拉克δ函数的平方就是两个常数1的傅里叶变换的乘积。根据卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘机，也就是是说上面的乘机积结果是常数1和常数1的卷积的傅里叶变换。

因此

如果x属于（0~L），则

证明出来了。

未仔细检查，如有错误请留言

参考资料：

狄拉克δ函数的性质

狄拉克δ函数有以下性质 ，在理解这些性质的时候，应该认为等式两边分别作为被积函数的因子时得到的结果相等 偶函数，其导数是奇函数

放缩（或相似性）

这种性质称为挑选性，它将 在 点的值 挑选出来

上述性质则可看成适用于高阶导数的挑选性。 如果方程 的实根 全是单根，则

该等式的含义为，若将δ函数作用在一个函数上，则会把函数的实根挑选出来，其左边表示在函数 为零时会取非零值，右边表示在 处，会取得非零值，并且取值“大小”，或者说在积分中的作用大小与δ函数的比值是函数在 处导数的绝对值的倒数。通过这一性质可以得到一些具体的等式，如

以及

这个性质说明δ函数与x的乘积在积分中与0的作用是相同的。

python sympy怎样把狄克拉函数定义出来

from sympy import DiracDelta

即导入了狄拉克函数，可以送入一个变量求解，如：

DiracDelta(2)

输出0。

什么是狄拉克函数

有时也说单位脉冲函数。通常用δ表示。在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。严格来说狄拉克δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。

狄拉克函数性质

狄拉克δ函数是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。

狄拉克δ函数在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点函数值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。

物理学中常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度，例如质量密度、电荷密度、每单位时间传递的动量（即力）等等，但是物理学中又常用到质点、点电荷、瞬时力等抽象模型，他们不是连续分布于空间或时间中，而是集中在空间中的某一点或者时间中的某一瞬时，那么它们的密度应该如何表示呢？

严格来说δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。数学上，人们为这类函数引入了广义函数的概念，在广义函数的理论中，δ函数的确切意义应该是在积分意义下来理解。在实际应用中，δ函数总是伴随着积分一起出现 。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都有很重要的应用。

一些函数可以认为是狄拉克δ函数的近似，但是要注意，这些函数都是通过极限构造的，因此严格上都不是狄拉克δ函数本身，不过在一些数学计算中可以作为狄拉克δ函数进行计算。

狄拉克δ函数有以下性质 ，在理解这些性质的时候，应该认为等式两边分别作为被积函数的因子时得到的结果相等。

对称性

偶函数，其导数是奇函数

放缩

放缩（或相似性）

挑选性

这种性质称为挑选性，它将 在 点的值 挑选出来

上述性质则可看成适用于高阶导数的挑选性。

狄拉克δ函数

8.1.1Δ 函数的定义

我们知道，一般函数的定义是对于自变量x的每一个值，都有特定函数值f（x）与之对应，f（x）称为在点x处的函数值。然而，这里我们要讨论的δ函数不是这种通常意义下的函数，因为它没有通常意义下的“函数值”；它的运算作用只有出现在积分号里才能体现出来，它是某种复杂极限过程的简化符号，是广义函数的一种。

所谓狄拉克δ函数是这样一个算符δ（x），它使得对任何在x=0点连续的函数f（x），有下式成立：

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为理解δ（x），对h＞0引进如下函数序列

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由积分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜

，使得有

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于是得到：

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由此可以直观地知道，由严格的理论也可以证明，δ（x）是δh（x）在某种意义下的极限。因为

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故可将δ（x）粗糙地理解为满足

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及

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的一个较通常函数意义更广的“函数”，（8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的。

物理上常用δ函数来描述集中分布的量，如集中质量、集中电荷等，设在x轴上有一单位质量集中在原点，用δ（x）表示密度分布函数，则在x≠0时，δ（x）=0。如果取δ（x）=C为有限常数，δ（x）便是一个通常意义下的分段连续函数，按照一般的积分计算有

δ（x）dx=0，即总质量为零，这与假设直线上具有单位质量相矛盾。故不能取δ（0）等于有限常数。事实上，若在x轴上取Δl为包含原点的区间段，ΔM为该段总的质量，则密度应为：

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由此可见，这里引入δ函数恰好描述了集中质量问题。在电法勘探问题中，δ函数就恰好描述点源的电荷（或电流）密度。

上面我们定义了一维且奇点在x=0处的δ函数，对n维且奇点在任意点（

、

，…，

）的δ函数可类似地定义，即它是这样一个算符δ（x1-

）δ（x2-

）…δ（xn-

），使得对任何在点（

，

，…，

）连续的函数f（x1，x2，…，xn），有

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成立，特别当取n=1，x1=x，

=0时，则得到（8.1.1）式。实际上n维δ函数可写成n个一维δ函数的乘积的形式。同样它还应满足：

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及

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本书中只涉及二维或三维的δ函数。

对于一个有限的研究域，关于δ函数，我们还能给出下面常用结果，例如以二维情况为例：

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式中D为一个二维区域，f（x1，x2）在（

，

）处连续，在第二个等式中，要求D的边界Γ在奇点（

，

）附近是光滑的，特殊情况，当f=1时，可得：

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现在给出（8.1.7）式的一个直观证明，当x0=（

，

）在D外，由（8.1.5）式知δ在D及其边界上恒为零，这时（8.1.7）式左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零，当x0在D内时，这时δ在D的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故

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图8.1 D∩B的二维几何表示

从而由（8.1.4）式可知（8.1.7）式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界Γ的情况，令B（x0，ε）是以x0为圆心、ε为半径的开圆（在一维情况是开区间，三维情况下是不含球面的球体，n维情况下为n维开球），注意到δ在B（x0，ε）的外部和边界上为零，知

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式中D∩B表示D域和B圆重合的部分，即图8.1中阴影部分，另外有

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因为Γ在x0附近光滑，故当ε趋于零时，D∩B域趋于半圆，这样，由以上两式有

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这便是（8.1.7）式中的第二等式。

8.1.2Δ 函数的性质及其傅氏变换

对于一维情况，给出δ函数的一些常用性质及其傅氏变换，均设f（x）在奇点处连续。由（8.1.7）式有

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另外，设α1、α2为常数，δ函数对加法运算是线性的。

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对于任何在x0处连续的函数f（x），有

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上式称为δ函数的筛选性质。由于

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可知

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由于

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故有

δ（x）f（x）=δ（x）f（0） （8.1.14）

或同样

δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0） （8.1.15）

如果（8.1.14）式中取f（x）=x，得

xδ（x）=0 （8.1.16）

若取f（x）在区间（-∞，α）（α为正数）外等于零，那么f（0）=0，于是

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由此推知

δ（x）=0 x ＜ 0 （8.1.17）

同理可得

δ（x）=0 x＞0 （8.1.18）

这便是（8.1.2）式的由来。

两个δ函数的褶积由下式确定。

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于是

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下面我们给出δ函数的傅氏变换，根据δ函数的定义（8.1.1）式有

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反过来，数学上可以证明

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即是说δ（x）与1组成傅氏变换对，由（8.1.10）式设f（x）=cosωx，可得δ的余弦变换为

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