跟我学Python图像处理丨带你掌握傅里叶变换原理及实现

摘要:傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号,用来进行图像除噪、图像增强等处理。

本文分享自华为云社区《[Python图像处理] 二十二.Python图像傅里叶变换原理及实现》,作者:eastmount。

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本文主要讲解图像傅里叶变换的相关内容,在数字图像处理中,有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中,傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号,用来进行图像除噪、图像增强等处理。

图像傅里叶变换原理

傅里叶变换(Fourier Transform,简称FT)常用于数字信号处理,它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同,对同一个事物的了解角度也随之改变,因此在时域中某些不好处理的地方,在频域就可以较为简单的处理。同时,可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成(或者无限逼近)一系列正弦信号的叠加。”

下面引用李老师“Python+OpenCV图像处理”中的一个案例,非常推荐同学们去学习。如下图所示,他将某饮料的制作过程的时域角度转换为频域角度。

绘制对应的时间图和频率图如下所示:

傅里叶公式如下,其中w表示频率,t表示时间,为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分。

傅里叶变换认为一个周期函数(信号)包含多个频率分量,任意函数(信号)f(t)可通过多个周期函数(或基函数)相加合成。从物理角度理解,傅里叶变换是以一组特殊的函数(三角函数)为正交基,对原函数进行线性变换,物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如下图所示,它是由三条正弦曲线组合成。

傅里叶变换可以应用于图像处理中,经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号,而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作,例如图像除噪、图像增强和锐化等。

二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式(15-3)表达,其中f是空间域(Spatial Domain))值,F是频域(Frequency Domain)值

对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后,下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。

二.Numpy实现傅里叶变换

Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换,其函数原型如下所示,该输出结果是一个复数数组(Complex Ndarry)。

fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)

  • a表示输入图像,阵列状的复杂数组
  • s表示整数序列,可以决定输出数组的大小。输出可选形状(每个转换轴的长度),其中s[0]表示轴0,s[1]表示轴1。对应fit(x,n)函数中的n,沿着每个轴,如果给定的形状小于输入形状,则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定’s’,则使用沿’axles’指定的轴的输入形状
  • axes表示整数序列,用于计算FFT的可选轴。如果未给出,则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换,一个元素序列意味着执行一维FFT
  • norm包括None和ortho两个选项,规范化模式(请参见numpy.fft)。默认值为无

Numpy中的fft模块有很多函数,相关函数如下:

#计算一维傅里叶变换
numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#计算二维的傅里叶变换
numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
#计算n维的傅里叶变换
numpy.fft.fftn()
#计算n维实数的傅里叶变换
numpy.fft.rfftn()
#返回傅里叶变换的采样频率
numpy.fft.fftfreq()
#将FFT输出中的直流分量移动到频谱中央
numpy.fft.shift()

下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换,调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布,接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间,最终通过Matplotlib显示效果图。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2as cv
import numpyas np
from matplotlib import pyplot as plt
#读取图像
img= cv.imread('test.png', 0)
#快速傅里叶变换算法得到频率分布
f= np.fft.fft2(img)
#默认结果中心点位置是在左上角,
#调用fftshift()函数转移到中间位置
fshift= np.fft.fftshift(f) 
#fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅
fimg= np.log(np.abs(fshift))
#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Fourier')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('Fourier Fourier')
plt.axis('off')
plt.show()

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