51. N-Queens

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The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

For example,
There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:

[
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

题目大意：

给定一个n*n的棋盘，在棋盘里放入n个Q，要求每一行，每一列都只有一个Q，而且每个Q的对角线上只能有一个Q。

思路：

这是一个典型的回溯问题。一条路走到黑，走到黑了退回来一步，然后再走，直到走通一条路。退回来继续寻找其他出路。

解决这个问题需要解决几个关键点：

1.关于保存一个可行路线的数据结构的选择

保存一个可行路线的时候，选择数据结构时选择一个2维数组还是什么这里需要动脑筋了，最后衡量，选择了一维数组。

比如说4-Queue时一个合法路线为

[".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

那么它对应的1位数组为{1，3，0，2}

解释：

1是数组第0位，对应二维数组第0行，对应的值是1，表示在第0行时，第1列可以放Q。

3是数组第1位，对应二维数组第1行，对应的值是3，表示在第1行时，第3列可以放Q。

0是数组第2位，对应二维数组第3行，对应的值是0，表示在第2行时，第0列可以放Q。

2是数组第3位，对应二维数组第3行，对应的值是2，表示在第3行时，第2列可以放Q。

数组的下标为行，数组的元素值为列。通过行列来确定Q的位置。

2.关于如何判断要加入的元素是否为合法

要插入一个合法元素到合法位置上，需要判断是否合法，在这里使用了函数

bool isValid(int curIndex, int val ,int n, vector &a)

curIndex表示当前要插入的元素在合法数组中的下标，也就是行。val是要插入的列值。n是有多少个Queue，a是保存临时合法路线的一个数组。

判断a[i] == val 相等说明该列重复。

对角线的斜率为1或-1，所以如果 |val - a[i]| / |cur - i| == 1，那么说明在同一对角线上。

3.将合法的路径一个一个的放入结果临时数组中。从结果临时数组转换成结果数组。

代码如下：

class Solution {
public:
    //判断当前要插入的值val在这个位置curIndex是否合法
    bool isValid(int curIndex, int val ,int n, vector &a)
    {
    	if (curIndex < n )
    	{
    		for (int i = curIndex - 1; i >= 0; --i)
    		{
    			if (a[i] == val)//判断列上是否有重复的
    				return false;
    		}
    		for (int i = curIndex - 1; i >= 0; --i)
    		{
    			if (abs(val - a[i]) == (curIndex - i))//判断斜线上是否有重复的
    			{
    				return false;
    			}
    		}
    		return true;
    	}
    
    	return false;
    }
    
    void PutQueens(int val , vector &a)//将合法的值放入当前临时结果数组
    {
    	a.push_back(val);
    }
    //start开始的行数，也就是第start+1个Queue的放置
    void solveNQueensToIntVector(int start,int n, vector &cur,
    vector> &result)//先转换成int来处理
    {
    	if (cur.size() == n)
    	{
    		result.push_back(cur);
    		return;
    	}
    	if (start == n)
    		return;
        //典型的回溯套路
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		if (!isValid(cur.size(),i, n, cur))
    			continue;
    		vector temp(cur);//保存变化前的vector
    		PutQueens(i, cur);
    		solveNQueensToIntVector(start + 1, n, cur, result);
    		cur.swap(temp);
    	}
    }
    
    vector> solveNQueens(int n) 
    {
    	vector cur; 
    	vector> tempResult;
    	vector> result;
    	solveNQueensToIntVector(0,n,cur,tempResult);
    
    	//vector> tempResult 转换成 目标结果result
    
    	for (int i = 0; i < tempResult.size(); i++)
    	{
    		vector floorVector;
    		string floor;
    
    		for (int j = 0; j < tempResult[i].size(); j++)
    		{
    			for (int k = 0; k < tempResult[i][j]; k++)
    			{
    				floor += ".";
    			}
    			floor += "Q";
    			for (int k = tempResult[i][j] + 1; k < n ; k++)
    			{
    				floor += ".";
    			}
    			floorVector.push_back(floor);
    			floor.clear();
    		}
    		result.push_back(floorVector);
    		floorVector.clear();
    	}
    	return result;
    }
};

本题总结：

回溯问题在N-Queue这道题中体现的十分明显。

回溯法解题思路
（1）针对所给问题，定义问题的解空间； 　　
（2）确定易于搜索的解空间结构； 　　

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

回溯就是让计算机自动的去搜索，碰到符合的情况就结束或者保存起来，在一条路径上走到尽头也不能找出解，就回到原来的岔路口，选择一条以前没有走过的路继续探测，直到找到解或者走完所有路径为止。就这一点，回溯和所谓的DFS（深度优先搜索）是一样的。那现在的关键是，怎么实现搜索呢？回溯既然一般使用递归来实现，那个这个递归调用该如何来写呢？我的理解就是，先判断这一次试探是否有效，如果有效则加入这个元素，然后进行下一次递归，递归后恢复加入这个合法元素之前的状态，进行下一次循环；如果无效则直接进行下一次循环。

2016-08-15 15:53:37

名称栏目：leetCode51.N-Queens|回溯问题(N皇后问题)|hard
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