怎么使用Lambda表达式编写递归
本篇内容主要讲解“怎么使用Lambda表达式编写递归”,感兴趣的朋友不妨来看看。本文介绍的方法操作简单快捷,实用性强。下面就让小编来带大家学习“怎么使用Lambda表达式编写递归”吧!
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使用 Lambda 表达式构建递归函数
很多朋友认为这很容易,随手便可用 lambda 表达式写出一个阶乘递归:
Funcfact = x => x <= 1 ? 1 : x * fact(x - 1);
不过,很抱歉,这行代码是无法通过编译的,VS 提示:使用了未赋值的变量 fact。
有种简单的解决办法,把上面这行代码拆成两行:
Funcfact = null; fact = x => x <= 1 ? 1 : x * fact(x - 1);
不过这种写法也有问题,老赵说得比较清楚,我就不在赘述了,请查看《使用Lambda表达式编写递归函数》一文中伪递归部分。
那么如何解决 lambda 表达式构建递归函数的问题呢?根据函数式编程理论,我们可以使用不定点组合子。
在学习不定点组合子之前,需要先了解更基础 λ 演算。
λ 演算
λ 演算的基础请大家参考维基百科:
http://zh.wikipedia.org/wiki/Lambda_演算
http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus
非形式化的描述
请确保你已经理解了文中几个表达式的等价关系:
(λf. f 3)(λx. x + 2) == (λx. x + 2) 3 == 3 + 2 (λx. λy. x - y) 7 2 == (λy.7 - y) 2 == 7 - 2
还清楚知道函数应用(application)的概念及其左结合性:
f x y == (f x) y
还有它的各种等价变换
f x y == (f x) y = (f(x))y = (f(x))(y) = f(x)(y)
归约
并会运用三个常用的规约(Reduction)
1.α-变换(α-conversion)
2.β-归约(β-reduction)
3.η-变换(η-conversion)
不动点组合子
请参考:
http://zh.wikipedia.org/wiki/不动点组合子
http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed-point_combinator
定义
不动点组合子(Fixed-point combinator,或不动点算子,使用 FIX 表示)是计算其他函数的一个不动点的高阶函数。
不动点算子具有以下特性,对于任何函数 f 都有:
FIX ff = f (FIX f)
定义匿名的递归函数
不动点组合子允许定义匿名的递归函数,具体来说是将一个非递归的单步函数(只执行递归中的一步,a single step of this recursion,使用 g 表示)转换为递归函数。
如下是阶乘的单步函数定义:
g = λf. λn. (ISZERO n) 1 (MULT n (f (PRED n)))
FIX g 可获取到匿名的递归函数:
FIX g = λn. (ISZERO n) 1 (MULT n ((FIX g) (PRED n)))
向 FIX g 的参数 n 传入值 5,可最终得出:
FIX g 55 = 5 * (4 * (3 * (2 * (1 * 1)))) = 120
常用的不定点组合子
不动点组合子中最有名的(也可能是最简单的)是 Y 组合子:
Y = λf. (λx. f (x x)) (λx. f (x x))
另一个常见不动点组合子是图灵不动点组合子(阿兰·图灵发现的):
Θ = (λx. λy. (y (x x y))) (λx.λy.(y (x x y)))
传值调用(call-by-value)
在 λ 演算中,每个表达式(lambda term)都代表一个只有单独参数的函数,这个函数的参数本身也是一个只有单一参数的函数,同时,函数的值是又一个只有单一参数的函数。
根据此描述,可知 λ 演算中函数只有一个参数,这个参数是一个函数,而不是一个值。而对于我们常见的递归(阶乘、斐波那契数列求值),参数都是值(自然数)。两者是不匹配的。
为了适当传值调用,需要将不动点组合子 η-展开:
简单而言 η-变换 是说 λx. f x 和 f 可以互相转换。从 f 这种简单形式 η-变换 为 λx. f x 复杂形式,称为 η-展开。
对于 Y 组合子,通常是将其中的 (x x) η-展开为 λy. x x y,由此得出传值调用版本的 Y组合子(也称为 Z 组合子):
Y = λf. (λx. f (λy. x x y)) (λx. f (λy. x x y))
如果不展开呢?会怎样?
如果使用不展开的不动点算子,也能写出可编译通过的代码,但最终执行会陷入死循环,直至堆栈溢出。
小结
后续章节将使用以下符号和名称,不再另行说明:
1.FIX:不动点组合子
2.g:单步函数
3.n:表示递归函数的参数(在阶乘、斐波那契数列求值中是一个自然数)
对于 FIX、g、n:
1.FIX g: 将会生成对应的递归函数
2.FIX g n: 将进行递归运算
λ 演算表达式与 c# lambda 表达式的对应关系
λx. x + 2
λx. x + 2 在 c#中的 lambda 表达式可表式为:x => x+ 2;
假定 x 的 int 类型,可写作:
Funcf = x => x + 2;
相应 (λx. x + 2) 1 可写为:
var result = f(1); // 结果为 3
λx. λy. x + y
复杂点,λx. λy. x + y 用 c# 的 lambda 表达式表示为:x => y => x + y;
x, y 类型为均整数时,可写作:
Func> f = x => y => x + y;
相应 (λx. λy. x + y) 1 2 便是:
var result = f(1)(2); // 结果为 3
λx. λy. λz. x + y + z
再复杂些,λx. λy. λz. x + y + z 表示为:x => y=> z => x + y + z,三个参数都为 int 时 c# 代码:
Func>> f = x => y => z => x + y + z;
可如下调用:
// (λx. λy. λz. x + y + z) 1 2 3 var result1 = f(1)(2)(3); //结果为 6 // (λx. λy. λz. x + y + z) 1 → λy. λz. 1 + y + z Func> g = f(1); // (λy. λz. 1 + y + z) 2 → λz. 1 + 2 + z → λz. 3 + z Func h = g(2); // (λz. 3 + z) 3 → 3 + 3 → 6 var result2 = h(3); // 结果为 6
每 5 行,向 f 传入一个常量 1,返回一个新的方法 g;再经过第 7 行,向 g 传入常量 2,再次返回一个新方法 h。
方法 h 只能接受一个参数,***得出 h(3) = 6。
为什么不是 (x, y, z) => x + y + z?
也许你会有疑问,不就是 x、y、z 三个整数加起来嘛,为什么搞这么复杂,像下面这样不是更简单吗?
Funcf = (x, y, z) => x + y + z; var result = f(1, 2, 3);
确实简单,不过:
在 λ 演算中,每个表达式(lambda term)都代表一个只有单独参数的函数,这个函数的参数本身也是一个只有单一参数的函数,同时,函数的值是又一个只有单一参数的函数。
注意都是只有一个参数,对应到 c# 的 lambda 表达式,也应是一个参数,所以是:x => y=> z => x + y + z。
总结
λ 演算表达式 | c# lambda 表达式 |
λx. x + 2 | x => x+ 2 |
λx. λy. x + y | x => y => x + y |
λx. λy. λz. x + y + z | x => y=> z => x + y + z |
好像有些规律:对于一个 Lambda terms,去掉“λ”并把“.”替换为”=>”便可变成对应 lambda 表达式。(注意,这个规律不严谨!)
练习一下,看看下面这个如何转为 lambda 表达式:
λx. λn. (g (x x) n)
先对它进行一步演算得出:
λx. λn. (g (x(x)) (n))
运用上的的规律,可以写出 lambda 表达式:x => n => g((x(x))(n)
对于复杂点的如:λx. f ( λv. (x x) v),这条规律就不适用了。文后续部分会通过演算绕开这种复杂的转换,不对此进行讨论。
理解本文中的泛型和 lambda 表达式
对于上一部分使用的泛型和 lambda 表达式,尤其是下面这行代码,你需要花点时间去理理思路(因为后续章节中泛型要远比此复杂):
Func>> f = x => y => z => x + y + z;
如果对你对泛型和 lambda 认识不是非常深刻的话,难度有点大,不妨先从下面这个简单点的开始:
Func> f = x => y => x + y;
换种写法,或许有助于理解:
Func> f = x => { Func g = y => { return x + y ;}; return g; };
本文简单阐述了 lambda 构建递归函数的问题,粗略提及 λ 演算及不动点组合子的知识,并总结了下 λ 演算表达式与 c# lambda 表达式的对应关系。
到此,相信大家对“怎么使用Lambda表达式编写递归”有了更深的了解,不妨来实际操作一番吧!这里是创新互联网站,更多相关内容可以进入相关频道进行查询,关注我们,继续学习!
文章题目:怎么使用Lambda表达式编写递归
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