稀疏矩阵的特点

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M*N矩阵，矩阵中有效值的个数远远小于无效值的个数，并且这些数据的分布没有规律。

例如下面的矩阵

稀疏矩阵的压缩存储

压缩矩阵值存储极少数的有效数据。使用三元组来存储每一个数据，三元组数据按照矩阵中的位置，以行优先顺序依次存放。

则上述矩阵的存储结构为

三元组结构

//三元组的定义
template
struct  Triple
{
public:
	//默认无参构造函数
	Triple()
	{}

	//构造函数
	Triple(const T& d,size_t row=0,size_t col=0)
		:_value(d)
		,_row(row)
		,_col(col)
	{}
public:
	T _value;//数据域
	size_t _row;//行
	size_t _col;//列
};

稀疏矩阵的压缩

template
class SparseMatrix
{
public:
	//无参构造函数
	SparseMatrix()
	{}
	SparseMatrix(const T* a, size_t row, size_t col, const T& invalid);
	void Display();//打印
	SparseMatrix Transport();//列转置
	SparseMatrix FastTransport();//快速转置
	
private:
	vector> _a;//三元组类型的顺序表
	size_t _rowSize;//行数
	size_t _colSize;//列数
	T _invalid;//非法值
};

//矩阵的压缩
template
SparseMatrix::SparseMatrix(const T* a, size_t row, size_t col, const T& invalid)
	:_rowSize(row)
	, _colSize(col)
	, _invalid(invalid)
{
	//行遍历
	for (size_t i = 0; i < row; i++)
	{
		//列遍历
		for (size_t j = 0; j < col; j++)
		{
			if (a[i*col + j] != invalid)
			{
				_a.push_back(Triple(a[i*col + j], i, j));
				//不能通过数组创建，但是可以通过数组形式访问
			}
		}
	}
}

转置

将原矩阵的行、列互换，也就是将[row][col]和[col][row]位置上的数据对换。

列转置

算法思想：

采用按照被转置矩阵三元组表A的序列（即转置后三元组表B的行序）递增的顺序进行转置，并以此送入转置后矩阵的算远足表B中，这样一来，转置后矩阵的三元组表B恰好是以“行序为主序的”.

实现代码

//列转置
template
SparseMatrix SparseMatrix::Transport()
{
	SparseMatrix result;
	//行列size互换
	result._rowSize = _colSize;
	result._colSize = _rowSize;
	result._invalid = _invalid;

	//按照列扫描
	for (size_t j = 0; j < _colSize; j++)
	{
		//在三元组数组中找到相同列的元素
		for (size_t index = 0; index < _a.size(); index++)
		{
			if (_a[index]._col == j)
			{
				result._a.push_back(Triple(_a[index]._value, _a[index]._col, _a[index]._row));
				//按照列优先的顺序存到压缩数组中
			}
		}
	}
	return result;
}

算法分析：

算法的时间主要消耗在双重循环中，其时间复杂度为O（_colSize*_a.size）。

一次定位快速转置

算法思想：

在列转置中算法的时间浪费主要在双重循环中，要改善算法的性能，必须去掉双重循环，使得整个转置过程通过一次循环来完成。

为了能使得被转置的三元组表A中元素一次定位到三元组表B中，需要预先计算一下数据：

1）rowCounts,三元组表A中每一列有效值的个数，即转置后矩阵三元组表B中每一行有效值的个数。

2）rowStart,三元组表B中每一行有效值的起始位置。

rowStart[col]=rowStart[col-1]+rowCounts[col-1]

上述矩阵的两个数组为：

代码实现：

//快速转置
template
SparseMatrix SparseMatrix::FastTransport()
{
	assert(_a.size() < 0);
	SparseMatrix result;
	//行列size互换
	result._rowSize = _colSize;
	result._colSize = _rowSize;
	result._invalid = _invalid;

	//建立rowCounts和rowStart
	int* rowCounts = new int[_colSize];
	int* rowStart = new int[_colSize];
	memset(rowCounts, 0, sizeof(int)*_colSize);//初始化为0
	memset(rowStart, 0, sizeof(int)*_colSize);//初始化为0

	result._a.resize(_a.size());//复制顺序表_a，容量相同，但是数据不同。
	//初始化
	for (size_t i = 0; i < _colSize; i++)
	{
		rowCounts[_a[i]._col]++;
	}
	rowStart[0] = 0;
	for (size_t i = 1; i < _colSize; i++)
	{
		rowStart[i] = rowCounts[i - 1] + rowStart[i - 1];
	}

	//快速转置
	size_t index = 0;
	Triple tmp;
	while (index < _a.size())
	{
		int row = _a[index]._col;//行数
		int rowIndex = rowStart[row];//当前行的起始位置

									 //交换行和列
		tmp._value = _a[index]._value;
		tmp._row = _a[index]._col;
		tmp._col = _a[index]._row;

		result._a[rowIndex] = tmp;
		rowStart[row]++;
		index++;
	}
	delete[] rowCounts;
	delete[] rowStart;
	return result;

}

算法分析：

一次定位快速转置算法时间主要浪费在3个并列的循环中，分别执行了_colSize,_col_Size,_a.size()次，总的时间复杂度为O(_colSize+_a.size())。远远小于O（_colSize*_a.size）。

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